数学灵感是人脑对数学对象结构关系的一种突发性的领悟。我们在解答数学题时，常常会有这样的情况，在百思不得其解的情况下，灵感出现了，从而创造了“柳暗花明又一村”的境界。灵感与创造思维、灵感与数学发现究竟有何联系？我们可看看下面几位数学家的数学灵感与数学发现的情况吧：

法国数学家笛卡儿，早就有把相互独立的代数与几何结合起来的愿望，经过长时期的思考，但没有找到合适的方法。年随军服务时他仍在思考。11月9日，在多瑙河畔的诺伊堡，他几天来整日沉迷在思考之中而不得其解，入睡后连连作梦，在梦中迷迷糊糊地想到引人直角坐标系的方法。第二天清晨，醒后立即将梦中所得加以整理，终于创造了解析几何学，笛卡儿获得了成功，但他酝酿时间为~年约为两年的时间。

法国著名数学家庞加莱在谈到他发现富克斯函数的变换方法时回忆说:“年有一次我离开当时居住的卡昂去作一次由矿业学校主办的地质考察旅行。旅途的奔波使我忘掉了我的数学工作，抵达库特塞斯后，我们乘公共马车到各处去转转，正当我跨上踏板的瞬间，脑子里突然出现了一个想法，即我曾用来定义富克斯函数的诸变换跟非欧几何中的诸变换是一致的。”庞加莱回到住址后，马上把这一结果加以了证明。这是在长时间紧张工作之后，思想放松时灵感的突然闪现，是经过了约一年时间的苦思之后才获得成功的。

被称为数学王子的高斯为证明某一算术定理，曾苦思冥想达两年之久，后来突然得到一个想法，使他获得成功。高斯回忆说:“终于在两天前我成功....像闪电一样，谜一下解开了。我自己也说不清楚是什么导线把原先的知识和我成功的东西连接起来。”尽管解开这个谜的想法是突然来的，但高斯本人经过两年的艰苦努力才为这个成功的到来作好了准备。

英国数学家哈密顿为推广复数(a,b)，试图建立三元数(a,b,c),结果失败了。为此，哈密顿长期为这个问题所困扰，究竟该怎样推广二元数(a,b)呢？10多年来，他一直不放弃对这一课题的研究，一直在冥思苦想。直到年，突然灵感涌现：放弃将(a,b)推广到三元数(a,b,c)的想法，而把(a,b)推广到四元数(a,b,c,d)=a+bi+cj+dk的形式，四元数诞生了。后来，哈密顿回忆发现四元数的经过时说:“明天是四元数的第15个生日。年10月16日，当我和妻子步行到都柏林途中，来到勃洛翰桥的时候，它们就来到了人间，或者说出生了，发育成熟了。此时的我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花就是i，j，k之间的基本方程。我当场拿出了笔记本，将这些做了记录。智力应该缓口气了，它已经纠缠我至少15年了！”

由以上对四位数学家数学灵感的出现而导致数学发现的描述，可以看出这种在长时期持续劳动后的某时刻出现的“突然领悟”是一种非逻辑的高层次的创造活动，亦即灵感思维活动。灵感是不能靠偶然的机遇、守株待兔式的消极等待可以得到的。必须是执著追求、锲而不舍、百折不挠，才能有成功的一天。所谓“灵机一动”、“眉头一皱，计上心来”，都是经过长期坚持不懈地创造性劳动而“偶然得之”的，是紧张的创造性活动和长期艰苦劳动的结果，是在长期思索基础上，经过量的积累而引起质的飞跃，只能意会，难以言传。